Question

15．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，S₅=-5，且a₃，a₄，a₆成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}=\frac{1}{{{a_{2n+1}}{a_{2n+3}}}}（{n∈{N^*}}）$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的性質列出方程，求出公差，然后求解通項公式．
（2）利用裂項法化簡求解數列的和即可．

解答 解：（1）由等差數列性質，S₅=-5=5a₃，∴a₃=-1，
設公差為d，則（-1+d）²=（-1）•（-1+3d），解得d=0或d=-1，a_n=-1或a_n=2-n．
（2）①當a_n=-1時，T_n=n；
②當a_n=2-n時，$\frac{1}{{{a_{2n+1}}{a_{2n+3}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，${T_n}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數列求和，等差數列的性質的應用，考查計算能力．