Question

求函數(shù)f（x）=2cos²x+5sinx-4（

π

6

≤x≤

π

3

）的最大值和最小值，并寫(xiě)出取最值時(shí)x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），通過(guò)x的范圍求出sinx的范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最大值和最小值，從而求得最大值與最小值的和．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=2cos²x+5sinx-4=-2sin²x+5sinx-2
∵

π

6

≤x≤

π

3

，∴

1

2

≤sinx≤

3

2

，令t=sinx，
函數(shù)轉(zhuǎn)化為：y=-2t²+5t-2，函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為：t=

5

4

＞

3

2

，
函數(shù)在

π

6

≤x≤

π

3

是增函數(shù)，
故當(dāng)sin

π

3

=

3

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值為

5 3 -7

2

；
當(dāng)sin

π

6

=

1

2

時(shí)，函數(shù)取得最小值為：0，
故函數(shù)的最大值時(shí)x的集合為{

π

3

}；
函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合{

π

6

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，二倍角的余弦公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．