Question

設(shè)，，其中是常數(shù)，且．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）證明：對(duì)任意正數(shù)，存在正數(shù)，使不等式成立；

（3）設(shè)，且，證明：對(duì)任意正數(shù)都有：．

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，取極大值，但沒(méi)有極小值（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】（1）∵， -----------------1分

由得，，

∴，即，解得，-----------------3分

故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

∴當(dāng)時(shí)，取極大值，但沒(méi)有極小值．-----------------4分

（2）∵，

又當(dāng)時(shí)，令，則，

故，

因此原不等式化為，即， -----------------6分

令，則，

由得：，解得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

故當(dāng)時(shí)，取最小值，-----------------8分

令，則．

故，即．

因此，存在正數(shù)，使原不等式成立．-----------------10分

（3）對(duì)任意正數(shù)，存在實(shí)數(shù)使，，

則，，

原不等式，

-----------------14分

由（1）恒成立，

故，

取，

即得，

即，故所證不等式成立． -----------------14分