Question

7．若關(guān)于x的方程x²1nx=a1na-a1nx有三個實根．求a取值范圍．

Answer 1

分析 令F（x）=x²1nx-a1na+a1nx，（x＞0，a＞0），再求導F′（x）=$\frac{{x}^{2}（2lnx+1）+a}{x}$，從而轉(zhuǎn)化為F′（x）=0至少有兩解；再令G（x）=x²（2lnx+1），求導確定其最值，從而解得．

解答 解：令F（x）=x²1nx-a1na+a1nx，（x＞0，a＞0），
則F′（x）=$\frac{{x}^{2}（2lnx+1）+a}{x}$，
∵F（x）有三個零點，
∴它至少有兩個極值點，即F′（x）=0至少有兩解；
令G（x）=x²（2lnx+1），
令G′（x）=4x（lnx+1）=0得x=$\frac{1}{e}$，
顯然G_min（x）=G（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故要使F′（x）有兩個零點，
則[x²（2lnx+1）+a]_min＜0，
即-$\frac{1}{{e}^{2}}$+a＜0，
故a∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．