Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²-4mx+4m²-1，若關(guān)于x的不等式f（f（x））＜0的解集為空集，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 可設(shè)f（x）=t，根據(jù)f（x）的解析式可求出t≥-1，從而由已知條件便可知f（t）＜0在t∈[-1，+∞）上無解，可得出判別式△＞0，這樣m需滿足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-4m}{2}＜-1}\\{f（-1）=4m+4{m}^{2}≥0}\end{array}\right.$，從而解該不等式組即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=t，t≥-1，根據(jù)題意知f（t）＜0，即不等式t²-4mt+4m²-1＜0在t∈[-1，+∞）上無解；
△=16m²-4（4m²-1）=4＞0；
∴m需滿足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-4m}{2}＜-1}\\{f（-1）=4m+4{m}^{2}≥0}\end{array}\right.$；
解得m≤-1；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]．
故答案為：（-∞，-1]．

點(diǎn)評 考查換元法的運(yùn)用，二次函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)情況和判別式△的關(guān)系，可結(jié)合二次函數(shù)圖象求解．