Question

18．已知f（x）=a^2x+4•a^x-5（a＞0，且a≠1）．
（1）當a=3時，求f（x）的值域；
（2）若對任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對原函數(shù)配方得到f（x）=（3^x+2）²-9，根據(jù)3^x＞0，便可得出（3^x+2）²的范圍，從而得出f（x）的范圍，即f（x）的值域；
（2）先配方f（x）=（a^x+2）²-9，從而根據(jù)f（x）＞0恒成立得到a^x+2＞3在x∈（0，+∞）上恒成立，從而可知函數(shù)a^x為增函數(shù)，從而a＞1．

解答 解：（1）當a=3時，f（x）=3^2x+4•3^x-5=（3^x+2）²-9；
3^x＞0；
∴3^x+2＞2；
∴（3^x+2）²＞4；
∴f（x）＞-5；
∴f（x）的值域為（-5，+∞）；
（2）f（x）=（a^x+2）²-9；
f（x）＞0恒成立；
∴（a^x+2）²-9＞0恒成立；
∴a^x+2＞3恒成立；
∴a^x＞1對任意x∈（0，+∞）恒成立；
∴a＞1；
∴實數(shù)a的取值范圍為（1，+∞）．

點評 考查配方求二次式子的范圍的方法，指數(shù)函數(shù)的值域，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．