Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+2．
（1）若f（x）的單調(diào)區(qū)間為（-∞，4），求a的取值范圍；
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，4）上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）的單調(diào)區(qū)間為（-∞，4），則函數(shù)圖象是以直線(xiàn)x=4為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，進(jìn)而得到a值；
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，4）上為減函數(shù)，分a=0和a≠0兩種情況，結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²-2x+2，
若f（x）的單調(diào)區(qū)間為（-∞，4），
則函數(shù)圖象是以直線(xiàn)x=4為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，
即$\frac{1}{a}$=4，
解得：a=$\frac{1}{4}$
（2）∵若a=0，則函數(shù)f（x）=-2x+2在區(qū)間（-∞，4）上為減函數(shù)，滿(mǎn)足條件；
若a≠0，由二次函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，4）上為減函數(shù)，
∴a＞0，且$\frac{1}{a}$≥4解得：a∈（0，$\frac{1}{4}$]
綜上所述，滿(mǎn)足條件的a的取值范圍為[0，$\frac{1}{4}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．