Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)．過(guò)右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為1時(shí)，求△POQ的面積；
（3）在線(xiàn)段OF上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，橢圓方程可設(shè)為．（1分）
∵兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2，
∴．
所求橢圓方程為．（4分）
（2）右焦點(diǎn)F（1，0），直線(xiàn)l的方程為y=x-1．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由得3y²+2y-1=0，解得．
∴．（9分）
（3）假設(shè)在線(xiàn)段OF上存在點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因?yàn)橹本�(xiàn)與x軸不垂直，所以設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴．．其中x₂-x₁≠0
以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）（x₂-x₁，y₂-y₁）=0?（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0?（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0?2k²-（2+4k²）m=0．
∴．（14分）
分析：（1）設(shè)橢圓方程為．由兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2，由此能夠求出a，b，c的值，從而得到所求橢圓方程．
（2）右焦點(diǎn)F（1，0），直線(xiàn)l的方程為y=x-1．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題設(shè)條件得．由此入手可求出．
（3）假設(shè)在線(xiàn)段OF上存在點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因?yàn)橹本�(xiàn)與x軸不垂直，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．由題意知（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此可知．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．