Question

10．雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，A，B是C左支上兩點(diǎn)且$\overrightarrow{A{F_1}}=3\overrightarrow{{F_1}B}$，∠ABF₂=90°，則雙曲線C的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)$|{\overrightarrow{{F_1}B}}|=x$，則$|{\overrightarrow{A{F_1}}}|=3x$，在Rt△ABF₂中，由勾股定理解得x=a，在Rt△F₁BF₂中，x²+（2a+x）²=（2c）²，將x=a即可求出離心率．

解答 解：設(shè)$|{\overrightarrow{{F_1}B}}|=x$，則$|{\overrightarrow{A{F_1}}}|=3x$，在Rt△ABF₂中，|AB|=4x，|BF₂|=2a+x，|AF₂|=2a+3x，
由勾股定理得（4x）²+（2a+x）²=（2a+3x）²，解得x=a，
在Rt△F₁BF₂中，x²+（2a+x）²=（2c）²，將x=a代入得10a²=4c²，
即$e=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．