Question

已知AB⊥平面BED，AB∥CD，BE⊥ED，AB=BE=ED=4，CD=2，F(xiàn)是ED中點，G是CF中點．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面CDF；
（Ⅱ）求AG與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵AB⊥平面BED，BE?平面BED，∴AB⊥BE
∵AB∥CD，∴BE⊥CD
∵BE⊥ED，∴DF⊥BE
∵CD∩DF=D，∴BE⊥平面CDF
∵BE?平面ABE，∴平面ABE⊥平面CDF；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標系，

則A（4，0，4），B（4，0，0），C（0，8，2），G（0，6，1），則
，=（-4，6，-3）
設平面ABC的法向量為，則，∴可求
∴AG與平面ABC所成角的正弦值為||==
∴AG與平面ABC所成角的余弦值為．
分析：（Ⅰ）先證明BE⊥平面CDF，利用面面垂直的判定定理，可得平面ABE⊥平面CDF；
（Ⅱ）建立坐標系，確定=（-4，6，-3），平面ABC的法向量為，利用向量夾角公式，可得結論．
點評：本題考查面面垂直，考查線面角，考查利用向量法解決空間角問題，屬于中檔題．