Question

已知AB⊥平面BED，AB∥CD，BE⊥ED，AB=BE=

1

2

ED=4，CD=2，F(xiàn)是ED中點(diǎn)，G是CF中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面CDF；
（Ⅱ）求AG與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明BE⊥平面CDF，利用面面垂直的判定定理，可得平面ABE⊥平面CDF；
（Ⅱ）建立坐標(biāo)系，確定

AG

=（-4，6，-3），平面ABC的法向量為

n

=(2，1，0)，利用向量夾角公式，可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：∵AB⊥平面BED，BE?平面BED，∴AB⊥BE
∵AB∥CD，∴BE⊥CD
∵BE⊥ED，∴DF⊥BE
∵CD∩DF=D，∴BE⊥平面CDF
∵BE?平面ABE，∴平面ABE⊥平面CDF；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則A（4，0，4），B（4，0，0），C（0，8，2），G（0，6，1），則

AB

=(0，0，-4)，

AC

=(-4，8，-2)，

AG

=（-4，6，-3）
設(shè)平面ABC的法向量為

n

=(x，y，z)，則

-4z=0 -4x+8y-2z=0

，∴可求

n

=(2，1，0)
∴AG與平面ABC所成角的正弦值為|

AG • n

| AG || n |

|=|

-8+6

61 • 5

|=

2

305

∴AG與平面ABC所成角的余弦值為

301

305

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查線面角，考查利用向量法解決空間角問題，屬于中檔題．