Question

19．已知$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=t|$\overrightarrow{a}$|，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，則t的值為2．

Answer 1

分析 根據(jù)題目條件得出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$|=t|$\overrightarrow{a}$|，$\overrightarrow{a}$²$+{\overrightarrow}^{2}$=t²${\overrightarrow{a}}^{2}$，即$\overrightarrow$²=（t²-1）$\overrightarrow{a}$²，t＞0
利用向量的夾角公式cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$，即可解得結(jié)論，即$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}}$=$-\frac{1}{2}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$|
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=t|$\overrightarrow{a}$|，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$²$+{\overrightarrow}^{2}$=t²${\overrightarrow{a}}^{2}$，即$\overrightarrow$²=（t²-1）$\overrightarrow{a}$²，t＞0
∴由向量的夾角公式cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}}{{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{（2-{t}^{2}）{\overrightarrow{a}}^{2}}{{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}}$=$-\frac{1}{2}$，
即$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}}$=$-\frac{1}{2}$，t²=4，t=±2，t=-2（舍去），
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．