Question

二次函數y=f（x）滿足：①f（0）=1；②f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值；
（3）設g（x）=f（x-a），求g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=y=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1可求c，再由f（x+1）-f（x）=2x可求a，b的值，進而可求函數f（x）
（2）由f(x)=(x-

1

2

)2+

3

4

，x∈[-1，1]，結合二次函數的圖象可求函數的最值
（3）由g（x）=f（x-a）=x²-（2a+1）x+a²+a+1，x∈[-1，1]，對稱軸為：x=a+

1

2

，故需要考慮對稱軸與區(qū)間[-1，1]的位置關系，從而可討論①當a+

1

2

≥0；②當a+

1

2

＜0時分別進行求解

解答：解：（1）設f（x）=y=ax²+bx+c（a≠0）（1分）
由f（0）=1得，c=1（2分）
因為f（x+1）-f（x）=2x
所以a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
即2ax+a+b=2x（4分）
所以

2a=2 a+b=0

⇒

a=1 b=-1

所以f（x）=x²-x+1（16分）
（2）∵f(x)=(x-

1

2

)2+

3

4

，x∈[-1，1]
當x=

1

2

時，ymin=

3

4

，（8分）
當x=-1時，y_max=3．（10分）
（3）∵g（x）=f（x-a）=x²-（2a+1）x+a²+a+1，x∈[-1，1]
對稱軸為：x=a+

1

2

①當a+

1

2

≥0時，即：a≥-

1

2

；如圖：
g（x）_max=g（-1）=a²+3a+3（13分）
②當a+

1

2

＜0時，即：a＜-

1

2

；如圖：
g（x）_max=g（1）=a²-a+1（15分）
綜上所述：g(x)max=

a2+3a+3 a2-a+1，

(a≥- 1 2 ) (a＜- 1 2 )

（16分）
（注：分四種情況討論的每種（1分），總結論2分）

點評：本題主要考查了由二次函數的性質求解二次函數的解析式及二次函數在閉區(qū)間上的最值的求解，要注意分類討論思想在解題中的應用，而討論的根本思想在于判斷二次函數的對稱軸與所給區(qū)間的位置關系．