Question

若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1

4

（a_n+1）²（n∈N^*），數(shù)列{

1

Sn+n

}的前n項和為T_n，則滿足T_n＞

9

10

的n的最小值為（　　）

• A、8
• B、9
• C、10
• D、11

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，兩者作差，研究{a_n}的相鄰項的關(guān)系，由此關(guān)系求其通項即可．

解答： 解：由題設(shè)條件知4S_n=（a_n+1）²，
得4S_n+1=（a_n+1+1）²，兩者作差，得4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²．
整理得（a_n+1-1）²=（a_n+1）²．
又?jǐn)?shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，
所以a_n+1-1=a_n+1，即a_n+1=a_n+2，
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，
又4S₁=4a₁=（a₁+1）²，解得a₁=1，
故有a_n=2n-1，
則S_n=

1

4

（a_n+1）²=S_n=

1

4

（2n-1+1）²=n²（n∈N^*），
則S_n+n=n+n²=n（n+1），
則

1

Sn+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，．
則T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
若T_n＞

9

10

，則1-

1

n+1

＞

9

10

，即

1

n+1

＜

1

10

，
則n+1＞10，n＞9，
則n的最小值為10，
故選：C

點評：本題考查數(shù)列求和，求解的關(guān)鍵是根據(jù)其通項的形式將其項分為兩項的差，采用裂項求和的技巧．