Question

已知圓C：x²+（y-4）²=1，直線l：3x+4y-6=0：
（1）圓C與直線l的位置關(guān)系為

相離

；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l：3x+4y-6=0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A、B，記四邊形PACB的面積是f（p）．則f（p）的最小值為

3

．

Answer 1

分析：（1）求出圓心C（0，4）到直線l的距離d，由于d大于半徑，所以圓C與直線l的位置關(guān)系為相離．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題知3x₀+4y₀-6=0，如圖右，且易知S四邊形PACB=2S△PBC=

PC2-1

，即|PC|有最小值時(shí)，函數(shù)f（p）有最小值，而|PC|_min=d=2，
由此求得f（p）的最小值．

解答：解：（1）由題易知圓心C（0，4）到直線l的距離為d=

|3×0+4×4-6|

5

=2＞1=r，所以圓C與直線l的位置關(guān)系為相離，
故答案為 相離．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題知3x₀+4y₀-6=0，如圖右，
且易知S四邊形PACB=2S△PBC=PB×r=

PC2-r2

×r=

PC2-1

即|PC|有最小值時(shí)，函數(shù)f（p）有最小值．
顯然|PC|_min=d=2，也所以有f(p)min=

22-1

=

3

；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．