如圖，已知雙曲線，其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B．過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足，．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點B作直線l分別交雙曲線的左支、右支于M、N兩點，且△OMN的面積S△OMN=，求l的方程．

【答案】分析：（1）欲求雙曲線的離心率，只需找到含a，c的齊次式，由已知，易求P點坐標，根據(jù)，可判斷D點為FP的中點，再根據(jù)可找到a，b的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為含a，c的等式，即可求出離心率e的值．
（2）當a=2時，根據(jù)（1）中所求離心率，可求出b的值，進而求出雙曲線方程，根據(jù)直線MN過B點，設(shè)出直線MN的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解出x1+x2，x1x2，△OMN被y軸分成兩個三角形，分別求出面積，再相加，即為△OMN的面積，讓其等于題目中所給的值，可得到關(guān)于直線l的斜率k的方程，解出k即可．
解答：解：（1）∵B（0，-b）
∵，即D為線段FP的中點．，
∴
，即A、B、D共線．
而  ，，
∴，得a=2b，
∴

（2）∵a=2，而，∴b2=1，
故雙曲線的方程為…①
∴B、的坐標為（0，-1）

設(shè)l的方程為y=kx-1…②
②代入①得（1-4k2）x2+8kx-8=0
由題意得：得：
設(shè)M、N的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）
則
而==
整理得24k4-11k2+1=0，解得：或（舍去）
∴所求l的方程為
點評：本題主要考查了雙曲線離心率的求法，以及直線與 雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B，過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足：2
OD
=
OF
+
OP
（O為原點）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點B的直線l交雙曲線于 M、N兩點，問在y軸上是否存在定點C，使?
CM
•
CN
為常數(shù)，若存在，求出C點的坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知雙曲線C1：
y2
m
-
x2
n
=1（m＞0，n＞0），圓C2：（x-2）2+y2=2，雙曲線C1的兩條漸近線與圓C2相切，且雙曲線C1的一個頂點A與圓心C2關(guān)于直線y=x對稱，設(shè)斜率為k的直線l過點C2．
（1）求雙曲線C1的方程；
（2）當k=1時，在雙曲線C1的上支上求一點P，使其與直線l的距離為2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•湖北模擬）如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B．過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足2
OD
=
OF
+
OP
(O為原點)，且
AB
=λ
AD
(λ≠0)．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點B作直線l分別交雙曲線的左支、右支于M、N兩點，且△OMN的面積S△OMN=2
6
，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點且與以點A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點A′與A關(guān)于直線y=x對稱，設(shè)直線l過點A，且斜率為k.

（1）求雙曲線S的方程；

（2）當k=1時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線l的距離為；

（3）當0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應(yīng)的點B的坐標.

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