Question

如圖，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）其右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿足：2

OD

=

OF

+

OP

（O為原點(diǎn)）且

AB

=λ

AD

(λ≠0)
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點(diǎn)B的直線l交雙曲線于 M、N兩點(diǎn)，問在y軸上是否存在定點(diǎn)C，使?

CM

•

CN

為常數(shù)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)條求出A，B，P三點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合2

OD

=

OF

+

OP

求出D的坐標(biāo)，再根據(jù)

AB

=λ

AD

(λ≠0)即可求出a和b之間的關(guān)系，進(jìn)而求出曲線的離心率；
（2）先假設(shè)存在定點(diǎn)C（0，n）使C

M

•C

N

為常數(shù)u，設(shè)MN的方程為y=kx-1；聯(lián)立直線方程與雙曲線方程求出M，N的坐標(biāo)與k之間的關(guān)系以及k所滿足的范圍；再求出

CM

•

CN

的值結(jié)合

CM

•

CN

為常數(shù)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題得B（0，-b），A（

a2

c

，0)易得P(c，

b2

a

)，P（c，

b 2

a

）
∵2O

D

=O

F

+O

P

∴D為線段FP的中點(diǎn)  （1分）
∴D（c，

b2

2a

)，又A

B

=λA

D

，
∵

AB

=λ

AD

(λ≠0)
即A、B、D共線（2分）
∴而A

B

=(-

a2

c

，-b)，A

D

=(c-

a2

c

，

b2

2a

)?，
?∴-

a2

c

•

b2

2a

-(-b)•(c-

a2

c

)=0得a=2b
∴e=

c

a

=

1+( b a

)2=

1+ 1 4

=

5

2

（4分）?
（2）∵a=2而e=

5

2

∴b2=1
∴雙曲線方程為

x2

4

-y2=1①（5分）
∴B（0，-1）
假設(shè)存在定點(diǎn)C（0，n）使C

M

•C

N

為常數(shù)u，設(shè)MN的方程為y=kx-1   ②（6分）
由②代入①得（1-4k²）x²+8kx-8=0
由題意得

1-4k2≠0 △=64k2+32(1-4k2)＞0

得k2＜

1

2

且k2≠

1

4

設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

8k

4k2-1

，x1x2=

8

4k2-1

?（8分）
而C

M

•C

N

=(x1，y1-n)•(x2，y2-n)=x1x2+y1y2-n(y1+y2)+n2?
=(1+k2)x1x2-k(n+1)(x1+x2)+(n+1)2=

8(1+k2)

4k2-1

-

8k2(n+1)

4k2-1

+(n+1)2=u?
整理得：[4（n+1）²-8n-4u]k²+[8-（n+1）²+u]=0     （10分）
對(duì)滿足k2?

1

2

且k2≠

1

4

的k恒成立，
∴

4(n+1)2-8n-4u=0 8-(n+1)2+u=0

解得n=4，u=17
故存在y軸上的定點(diǎn)C（0，4），使C

M

•C

N

為常數(shù)17    （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．其中問題（2）是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．