Question

已知兩點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|，直線MF₂與曲線C交于另一點(diǎn)P．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)N（-4，0），若=3：2，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，所以曲線C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓．由此可知曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．由得（3+4k²）y²-24ky=0．解得y=0或．依題意，；由此可知直線MN的方程．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閨F₁F₂|=4，|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，
所以曲線C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓．
曲線C的方程為．（4分）
（Ⅱ）顯然直線MN不垂直于x軸，也不與x軸重合或平行．（5分）
設(shè)M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．
由得（3+4k²）y²-24ky=0．
解得y=0或．
依題意，．（7分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101221842882456289/SYS201311012218428824562007_DA/9.png">，
所以，則．
于是
所以（9分）
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以．
整理得48k⁴+8k²-21=0，
解得或（舍去），
從而．（（11分））
所以直線MN的方程為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解題．