Question

12．已知f_n（x）=（ax+$\frac{1}{x}$）ⁿ，且f₄（x）展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為81．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f₁（$\frac{1}{x}$）•f₅（x），求g（x）展開式的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由已知可得（1+a）⁴=81，由此解得a的值．
（2）由于g（x）=f₁（$\frac{1}{x}$）•f₅（x）=（$\frac{2}{x}$+x）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵，可得 g（x）展開式的常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：（1）由已知f_n（x）=（ax+$\frac{1}{x}$）ⁿ，且f₄（x）展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為81，
可得（1+a）⁴=81，解得a=2．
（2）∵g（x）=f₁（$\frac{1}{x}$）•f₅（x）=（$\frac{2}{x}$+x）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵，
∴g（x）展開式的常數(shù)項(xiàng)為2•${C}_{5}^{2}$•2³+${C}_{5}^{3}$•2²=200．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．