精英家教網(wǎng)已知如圖，圓C的圓心在拋物線x2=2py（p＞0）上運動，且圓C過A（0，p）點，若MN為圓C在x軸上截得的弦．
設(shè)AM=l1，AN=l2，求
l1
l2
+
l2
l1
的取值范圍．
分析：設(shè)∠MAN=θ，由題意知l1l2=
2p2
sinθ
，l12+l22=4p2+
4p2
sinθ
cosθ=4p2(1+
1
tanθ
)．所以
l1
l2
+
l2
l1
=
l
2
1
+
l
2
2
l1l2
=
4p2(1+
1
tanθ
)sinθ
2p2
=2(sinθ+cosθ)=2
2
sin(θ+45°)．由此可知當(dāng)且僅當(dāng)θ=45°時，原式有最大值2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)θ=90°時，原式有最小值為2，從而
l1
l2
+
l2
l1
的取值范圍．
解答：解：設(shè)∠MAN=θ，
因為S△MAN=
1
2
l1•l2•sinθ=
1
2
OA•MN=p2，
所以l1l2=
2p2
sinθ
，因為l12+l22-2l1l2cosθ=4p2，
所以l12+l22=4p2+
4p2
sinθ
cosθ=4p2(1+
1
tanθ
)．
所以
l1
l2
+
l2
l1
=
l
2
1
+
l
2
2
l1l2
=
4p2(1+
1
tanθ
)sinθ
2p2
=2(sinθ+cosθ)=2
2
sin(θ+45°)．
因為0＜θ≤900，所以當(dāng)且僅當(dāng)θ=45°時，原式有最大值2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)θ=90°時，原式有最小值為2，從而
l1
l2
+
l2
l1
的取值范圍為[2，2
2
]．
點評：本題考查圓錐曲線的位置關(guān)系和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題和仔細(xì)解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知圓C的圓心坐標(biāo)為（1，-1），且過點M（2，-1）．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點N（-1，-2）且斜率為1的直線l與圓C相交于A、B兩點，求線段AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對應(yīng)的一個特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其對應(yīng)的一個特征向量α2=
1
-1
，求矩陣A的逆矩陣A-1．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標(biāo)為（-2，6），點B的極坐標(biāo)為(4，
π
2
)，直線l過點A且傾斜角為
π
4
，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求證：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知如圖，圓C的圓心在拋物線x2=2py（p＞0）上運動，且圓C過A（0，p）點，若MN為圓C在x軸上截得的弦．
設(shè)AM=l1，AN=l2，求數(shù)學(xué)公式的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年數(shù)學(xué)之友高考數(shù)學(xué)模擬試卷（解析版） 題型：解答題

已知如圖，圓C的圓心在拋物線x2=2py（p＞0）上運動，且圓C過A（0，p）點，若MN為圓C在x軸上截得的弦．
設(shè)AM=l1，AN=l2，求的取值范圍．

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