Question

已知命題p：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)F₁、F₂的坐標(biāo)分別是（-1，0）、（1，0），命題q：直線PF₁、PF₂的斜率分別是k₁、k₂，k₁•k₂=m（m∈R），p∧q真．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）指出點(diǎn)P的軌跡類型（如圓、拋物線、直線等）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出直線PF₁、PF₂的斜率，利用k₁•k₂=m，化簡(jiǎn)即可求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）對(duì)m分類討論，即可求得點(diǎn)P的軌跡類．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，k1=

y

x+1

，k2=

y

x-1

，
∵k₁•k₂=m（m∈R），∴

y

x+1

•

y

x-1

=m，
所以所求軌跡方程是：mx²-y²=m（m∈R，x≠±1）．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）點(diǎn)P的軌跡方程為mx²-y²=m（m∈R，x≠±1），
當(dāng)m＜0且m≠-1時(shí)，方程可化為　x2+

y2

-m

=1（x≠±1），∴P的軌跡是橢圓（除去與x相交的項(xiàng)點(diǎn)）；
當(dāng)m=-1時(shí)，方程x²+y²=1（x≠±1），∴P的軌跡是圓（除去與x的交點(diǎn)）；
當(dāng)m=0時(shí)，方程是y=0（x≠±1），∴P的軌跡是x軸（除去（-1，0）和（1，0）兩點(diǎn)）；
當(dāng)m＞0時(shí)，方程可化為x2-

y2

m

=1（x≠±1），∴P的軌跡是雙曲線（除去項(xiàng)點(diǎn)）…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．