Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（a＞0）與x軸的正半軸交于點(diǎn)P．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，3），=6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)Q且斜率為的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，0）．　（1分）
∵，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3，3），
∴3a+3×0=6，解得a=2．（3分）
∴橢圓C的方程為．（4分）
（Ⅱ）方法一：過(guò)點(diǎn)Q（3，3）且斜率為的直線AB方程為y-3=，
即3x-2y-3=0．（5分）
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由，消去x并整理得，8y²+12y-27=0．（6分）
∴，，（7分）
∴==，
∴．（9分）
∵直線AB與x軸的交點(diǎn)為M（1，0），
∴△AOB的面積S_△AOB=S_△OMA+S_△OMB
=|OM|•（|y₁|+|y₂|）
=
=．（12分）
方法二：過(guò)點(diǎn)Q（3，3）且斜率為的直線AB方程為y-3=，
即3x-2y-3=0．（5分）
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由，消去y，并整理得2x²-2x-3=0，（6分）
∴，，（7分）
∴|AB|=
==，（9分）
∵點(diǎn)O到直線AB的距離d==，（10分）
∴△AOB的面積S_△AOB===．（12分）
分析：（Ⅰ）點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，0），由，知點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3，3），由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）法一：過(guò)點(diǎn)Q（3，3）且斜率為的直線AB方程為y-3=，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由得，8y²+12y-27=0.，，，由此能求出△AOB的面積．
法二：過(guò)點(diǎn)Q（3，3）且斜率為的直線AB方程為y-3=，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由，得2x²-2x-3=0，，，|AB|==，點(diǎn)O到直線AB的距離d==，由此能求出△AOB的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和求三角形面積．具體涉及到橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式等基本知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．