【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點在線段上,平面.
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若,求二面角的正切值.
【答案】(1)見解析 ; (2)3 .
【解析】
試題分析: (1)證明線面垂直,一般利用線面垂直判定及性質(zhì)定理,經(jīng)多次轉(zhuǎn)化得證:先由線面垂直PA⊥平面ABCD得線線垂直PA⊥BD.同理PC⊥BD.,再由線線垂直得線面垂直BD⊥平面PAC. (2)求二面角正切值,一般利用空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)空間向量數(shù)量積進(jìn)行求解:先建立恰當(dāng)直角坐標(biāo)系,設(shè)各點坐標(biāo),利用方程組得兩平面法向量,再根據(jù)向量數(shù)量積求其夾角余弦值,最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求正切值.
試題解析:(1)證明 ∵PA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
∴PA⊥BD.
同理由PC⊥平面BDE,可證得PC⊥BD.
又PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.
(2)解
如圖,
分別以射線AB,AD,AP為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.
由(1)知BD⊥平面PAC,
又AC平面PAC,∴BD⊥AC.
故矩形ABCD為正方形,
∴AB=BC=CD=AD=2.
∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
∴=(2,0,-1),=(0,2,0),=(-2,2,0).
設(shè)平面PBC的一個法向量為n=(x,y,z),則
∴取x=1得n=(1,0,2).
∵BD⊥平面PAC,
∴=(-2,2,0)為平面PAC的一個法向量.
cos<n,>=
設(shè)二面角B-PC-A的平面角為α,由圖知0<α<,
∴cos α=,sin α=
∴tan α==3,即二面角B-PC-A的正切值為3.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.
(Ⅰ)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(Ⅱ)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.
附注:
參考數(shù)據(jù):,,
,≈2.646.
參考公式:相關(guān)系數(shù)
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}滿足an+1=an(1﹣an+1),a1=1,數(shù)列{bn}滿足:bn=anan+1 , 則數(shù)列{bn}的前10項和S10= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ax3﹣3x2+1(a>0),定義h(x)=max{f(x),g(x)}= .
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若g(x)=xf'(x),且存在x∈[1,2]使h(x)=f(x),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若g(x)=lnx,試討論函數(shù)h(x)(x>0)的零點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓.
(Ⅰ)若圓的切線在軸和軸上的截距相等,求此切線的方程;
(Ⅱ)從圓外一點向該圓引一條切線,切點為,為坐標(biāo)原點,且,求使取得最小值的點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{xn}滿足x1=0,xn+1=﹣x2n+xn+c(n∈N*).
(Ⅰ)證明:{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0;
(Ⅱ)求c的取值范圍,使{xn}是遞增數(shù)列.
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【題目】已知兩點M(﹣3,0),N(3,0),點P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點,且,則動點P(x,y)到兩點A(﹣3,0)、B(﹣2,3)的距離之和的最小值為( )
A. 4 B. 5 C. 6 D.
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【題目】等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,前n項的積為Tn,若T13=4T9,則a8a15=( )
A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4
【答案】A
【解析】
由題意可得 q>1,且 an >0,由條件可得 a1a2…a13=4a1a2…a9,化簡得a10a11a12a13=4,再由 a8a15=a10a13=a11a12,求得a8a15的值.
等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其前n項的積為Tn(n∈N*),若T13=4T9 ,設(shè)公比為q,
則由題意可得 q>1,且 an >0.
∴a1a2…a13=4a1a2…a9,∴a10a11a12a13=4.
又由等比數(shù)列的性質(zhì)可得 a8a15=a10a13=a11a12,∴a8a15=2.
故選:A.
【點睛】
本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì),求得 a10a11a12a13=4是解題的關(guān)鍵.
【題型】單選題
【結(jié)束】
10
【題目】若直線y=2x上存在點(x,y)滿足約束條件,則實數(shù)m的最大值為
A. -1 B. 1 C. D. 2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長AB=AD=2,AA1=3的長方體ABCDA1B1C1D1中,點E是平面BCC1B1上的動點,點F是CD的中點.試確定點E的位置,使D1E⊥平面AB1F.
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