Question

【題目】設(shè)點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)作圓：的切線，，分別交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值．

【解析】

（1）利用拋物線的焦半徑公式求得值，進(jìn)而得到拋物線方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的切線為，利用圓心到直線的距離等于半徑得到，化簡并借助韋達(dá)定理，可得，，設(shè)，則直線，與拋物線聯(lián)立，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得，同理，再設(shè)直線，利用弦長公式求弦長，由點(diǎn)到直線距離公式求到直線的距離，代入三角形面積公式，換元后利用基本不等式和二次函數(shù)求最小值.

（1）當(dāng)時(shí)，，

所以，故所求拋物線方程為.

（2）點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，則，

設(shè)過點(diǎn)的切線為，

則，

得，

是方程（*）式的兩個(gè)根，

所以，，

設(shè)，

因直線，與拋物線交于點(diǎn)A，

則得，

所以，即，

同理，

設(shè)直線，

則，

，

又，

，

所以

令，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.