Question

7．已知y=f（x）（x∈D，D為此函數(shù)的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數(shù)f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②如果存在區(qū)間[a，b]⊆D，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數(shù)；
請解答以下問題
（1）求閉函數(shù)y=-x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x∈（0，+∞））是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）若y=k+$\sqrt{x}$是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“閉函數(shù)”的定義，結合y=-x³的單調性，列出方程組，求出a、b的值；
（2）根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上不是單調函數(shù)，得出f（x）在（0，+∞）上不是“閉函數(shù)”；
（3）先判斷g（x）=k+$\sqrt{x}$在定義域[0，+∞）上的單調性，再根據(jù)“閉函數(shù)”的定義列出方程組，利用轉化思想求出k的取值范圍．

解答 解：（1）因為y=-x³在R上是減函數(shù)，若在區(qū)間[a，b]上是“閉函數(shù)”，
則$\left\{\begin{array}{l}-{a^3}=b\\-{b^3}=a\end{array}\right.$，且a＜b，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.$；
所以滿足條件的區(qū)間為[-1，1]；
（2）由f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x∈（0，+∞）得
$f（\frac{1}{2}）=\frac{5}{2}，f（1）=2，f（2）=\frac{5}{2}$，
所以f（x）在（0，+∞）上不是單調函數(shù)，不符合“閉函數(shù)”定義，
所以f（x）=x+$\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）上不是“閉函數(shù)”；
（3）設g（x）=k+$\sqrt{x}$，則g（x）的定義域為[0，+∞），
在[0，+∞）內任取x₁＜x₂，
則$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}$=$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}}$＜0；
所以g（x₁）＜g（x₂），
所以g（x）是增函數(shù)．
設符合條件的區(qū)間為[a，b]，則有g（a）=a，g（b）=b，
即$\left\{\begin{array}{l}k+\sqrt{a}=a\\ k+\sqrt=b\end{array}\right.$，
所以a、b是方程x-$\sqrt{x}$-k=0的兩根；
所以問題轉化為h（x）=x²-x-k有兩個非負零點，
即方程x²-x-k=0在[0，+∞）內有兩個不同實數(shù)根；
所以$\left\{\begin{array}{l}△={（-1）^2}-4（-k）＞0\\{x_1}+{x_2}=1＞0\\{x_1}{x_2}=-k≥0\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{4}$＜k≤0，
所以，實數(shù)k的取值范圍是$（-\frac{1}{4}，0]$．

點評 本題考查了新定義的問題，考查了函數(shù)的性質與應用問題，考查了方程思想與轉化思想的應用問題，是綜合性題目．