Question

12．已知拋物線C：y=x²，過點(diǎn)M（1，1）作兩條相互垂直的直線，與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B
（Ⅰ）求拋物線C的準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）直線AB是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用拋物線C的準(zhǔn)線方程求解拋物線的準(zhǔn)線方程即可；
（Ⅱ）直線AB是過定點(diǎn)，設(shè)出AB坐標(biāo)，求出AB的方程，利用直線垂直，推出關(guān)系式，得到AB的直線系方程，即可求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

解答 解：（Ⅰ）由題意拋物線C：y=x²，可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則K_MA=$\frac{{x}_{1}^{2}-1}{{x}_{1}-1}={x}_{1}+1$，K_MB=$\frac{{x}_{2}^{2}-1}{{x}_{2}-1}={x}_{2}+1$，K_AB=$\frac{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}={x}_{2}+{x}_{1}$，
∴直線AB的方程為：y-x₁²=（x₂+x₁）（x-x₁），
即y=（x₂+x₁）x-x₁x₂，…①．
又因?yàn)镸A⊥MB，則K_AM•K_MB=（x₁+1）（x₂+1）=-1，
即-x₁x₂=2+（x₂+x₁），代入①可得，y-2=（x₂+x₁）（x+1），
于是直線AB過定點(diǎn)R（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線系方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．