Question

已知點(diǎn)P（m，4）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為

3

2

，則此橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，由橢圓的定義可得m+n=2a，再由三角形的面積公式以及內(nèi)切圓的圓心與三個(gè)頂點(diǎn)將三角形△PF₁F₂分成三個(gè)小三角形，分別求面積再求和，得到a，c的方程，由離心率公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，
由橢圓的定義可得m+n=2a，
由三角形的面積公式可得
S△PF1F2=

1

2

×2c×4=4c，
由△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為

3

2

，
則S△PF1F2=

1

2

×

3

2

（m+n+2c）=

3

4

（2a+2c）=

3

2

（a+c），
即有4c=

3

2

（a+c），
即為5c=3a，
則離心率e=

c

a

=

3

5

．
故答案為：

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，考查三角形的面積公式和面積的分割法，考查離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．