【題目】已知函數(shù)f(x)=(3﹣a)x﹣2+a﹣2lnx(a∈R)
(1)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào),求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣x在(0, )上無零點,求a的最小值.

【答案】
(1)解:f′(x)=3﹣a﹣ = ,

當(dāng)a≥3時,有f′(x)<0,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減;

當(dāng)a<3時,令f′(x)=0,得x= ,若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,3)單調(diào),

≤1或 ≥3,解得:a≤1或 ≤a<3,

綜上,a的范圍是(﹣∞,1]∪[ ,+∞)


(2)解:x→0時,g(x)→+∞,

∴g(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx<0在區(qū)間(0, )上恒成立不可能,

故要使函數(shù)g(x)在(0, )無零點,只需對任意的x∈(0, ),g(x)>0恒成立,

即對x∈(0, ),a>2﹣ 恒成立,

令l(x)=2﹣ ,x∈(0, ),

則l′(x)= ,

令m(x)=2lnx+ ﹣2,x∈(0, ),

則m′(x)= <0,

故m(x)在(0, )上遞減,于是m(x)>m( )=2﹣2ln2>0,

從而,l′(x)>0,于是l(x)在(0, )遞增,

∴l(xiāng)(x)<l( )=2﹣4ln2,

故要使a>2﹣ 恒成立,只需a∈[2﹣4ln2,+∞),

綜上,若函數(shù)g(x)=f(x)﹣x在(0, )上無零點,則a的最小值是2﹣4ln2


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為對x∈(0, ),a>2﹣ 恒成立,令l(x)=2﹣ ,x∈(0, ),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】根據(jù)市場分析,某蔬菜加工點,當(dāng)月產(chǎn)量為10噸至25噸時,月生產(chǎn)總成本(萬元)可以看出月產(chǎn)量(噸)的二次函數(shù),當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時,月生產(chǎn)成本為20萬元,當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時,月生產(chǎn)總成本最低至17.5萬元.

(I)寫出月生產(chǎn)總成本(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量噸的函數(shù)關(guān)系;

(II)已知該產(chǎn)品銷售價為每噸1.6萬元,那么月產(chǎn)量為多少噸時,可獲得最大利潤,并求出最大利潤.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點C在橢圓M: =1(a>b>0)上,若點A(﹣a,0),B(0, ),且 =
(1)求橢圓M的離心率;
(2)設(shè)橢圓M的焦距為4,P,Q是橢圓M上不同的兩點.線段PQ的垂直平分線為直線l,且直線l不與y軸重合.
①若點P(﹣3,0),直線l過點(0,﹣ ),求直線l的方程;
②若直線l過點(0,﹣1),且與x軸的交點為D.求D點橫坐標(biāo)的取值范圍.

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【題目】對于函數(shù)與常數(shù),若恒成立,則稱為函數(shù)的一個“P數(shù)對”,設(shè)函數(shù)的定義域為,且。

(1)若的一個“P數(shù)對”,且,求常數(shù)的值;

(2)若(1,1)是的一個“P數(shù)對”,且上單調(diào)遞增,求函數(shù)上的最大值與最小值;

(3)若(-2,0)是的一個“P數(shù)對”,且當(dāng)時,,求k的值及在區(qū)間上的最大值與最小值。

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【題目】霧霾影響人們的身體健康,越來越多的人開始關(guān)心如何少產(chǎn)生霧霾,春節(jié)前夕,某市健康協(xié)會為了了解公眾對“適當(dāng)甚至不燃放煙花爆竹”的態(tài)度,隨機采訪了50人,將凋查情況進(jìn)行整理后制成下表:

年齡(歲)

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

[65,75]

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

4

6

12

7

3

3


(1)以贊同人數(shù)的頻率為概率,若再隨機采訪3人,求至少有1人持贊同態(tài)度的概率;
(2)若從年齡在[15,25),[25,35)的被調(diào)查者中各隨機選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的4人中不贊同“適當(dāng)甚至不燃放煙花爆竹”的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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2判斷 R上的單調(diào)性;

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