Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（a-1）{x^2}$+bx+1（a，b是常數(shù)，a＞0），曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P（-1，f（-1））處的切線(xiàn)與y軸垂直．
（1）求a與b滿(mǎn)足的關(guān)系式
（2）求f（x）在（0，+∞）上的極值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系即可求出，先求導(dǎo)，再判斷單調(diào)性，繼而得到極值．

解答 解：（1）f'（x）=x²-（a-1）x+b，f（x）在點(diǎn)P（-1，f（-1））處的切線(xiàn)與y軸垂直，
則f'（-1）=1+（a-1）+b=a+b=0，即a與b的關(guān)系式為a+b=0；
（2）由（1）可知b=-a，則f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（a-1）{x^2}$-ax+1，
∴f'（x）=x²-（a-1）x-a=（x-a）（x+1），其中a＞0
令f'（x）＞0得，x＜-1或x＞a；令f'（x）＜0得，-1＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增
∴f（x）_極大值=f（-1）=$-\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$（a-1）+a+1=$\frac{1}{2}$a+$\frac{7}{6}$，
f（x）_極小值=f（a）=$\frac{1}{3}$a³-$\frac{1}{2}$a²（a-1）-a²+1=-$\frac{1}{6}$a³-$\frac{1}{2}$a²+1，
∴f（x）有極大值為$\frac{1}{2}$a+$\frac{7}{6}$，極小值為-$\frac{1}{6}$a³-$\frac{1}{2}$a²+1．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．