Question

14．有紅、黃、藍(lán)、白4種顏色的小球，每種小球數(shù)量不限且它們除顏色不同外，其余完全相同，將小球放入如圖所示編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子中，每個(gè)盒子只放一只小球．
（1）放置小球滿足：“對(duì)任意的正整數(shù)j（1≤j≤5），至少存在另一個(gè)正整數(shù)k（1≤k≤5，且j≠k）使得j號(hào)盒子與k號(hào)盒子中所放小球的顏色相同”的概率；
（2）記X為5個(gè)盒子中顏色相同小球個(gè)數(shù)的最大值，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）閱讀題意得出滿足條件的發(fā)放分為兩類：
①每個(gè)盒子中顏色都相同，共有4種，②有2種顏色組成，共有2×${C}_{4}^{2}$${×C}_{5}^{2}$=120，運(yùn)用古典概率公式求解即可．
（2）確定X的可能的值為2，3，4，5．分別求出概率得出分布列，即可求解數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）4種顏色的球放置在5個(gè)不同的盒子中，共有4⁵種放法，
滿足條件的發(fā)放分為兩類：
①每個(gè)盒子中顏色都相同，共有4種，②有2種顏色組成，共有2×${C}_{4}^{2}$${×C}_{5}^{2}$=120，
所求的概率為P=$\frac{4+120}{{4}^{5}}$=$\frac{31}{256}$；
（2）X的可能的值為2，3，4，5．
則：P（X=2）=$\frac{{{C}_{4}^{1}A}_{5}^{3}{+C}_{4}^{2}{×C}_{2}^{1}{×C}_{5}^{1}{×C}_{4}^{2}}{{4}^{5}}$=$\frac{75}{128}$，
P（X=3）=$\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{5}^{3}•{3}^{2}}{{4}^{5}}$=$\frac{45}{128}$，
P（X=4）=$\frac{{{{C}_{4}^{1}C}_{5}^{4}C}_{3}^{1}}{{4}^{5}}$=$\frac{15}{256}$，
P（X=5）=$\frac{4}{{4}^{5}}$=$\frac{1}{256}$；
所以X的概率分布列為：

X	2	3	4	5
P	$\frac{75}{128}$	$\frac{45}{128}$	$\frac{15}{256}$	$\frac{1}{256}$

E（X）=2×$\frac{75}{128}$$+3×\frac{45}{128}$$+4×\frac{15}{256}$$+5×\frac{1}{256}$=$\frac{635}{256}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了實(shí)際問題與概率的結(jié)合，仔細(xì)閱讀題意得出所求概率的類比，熟練利用排列組合知識(shí)求解即可，難度較大．