Question

12．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（-x）+4x=0且當x＞0時，f′（x）-x+2＜0，則不等式f（x）-f（1-x）+3x-$\frac{3}{2}$＞0解集為（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 首先利用題中的已知條件建立不等式，進一步利用函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果．

解答 解：∵f（x）-f（-x）+4x=0，
∴f′（x）+f′（-x）+4=0．
∵當x＞0時，f′（x）-x+2＜0，-x＜0，
∴f′（-x）+x+2＜0，
即f′（-x）＜-x-2＜-2．
所以：f′（1-x）＜-2，
令F（x）=f（x）-f（1-x）+3x-$\frac{3}{2}$，
則F′（x）=f′（x）+f′（1-x）+3＜-2-2+3=-1＜0，
故F（x）為減函數(shù)．
由于F（$\frac{1}{2}$）=0，
故有F（x）＞0=F（$\frac{1}{2}$），
可得x＜$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查的知識要點：導(dǎo)數(shù)在不等式解法中的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解集．