Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²
（1）求f（x）在點(diǎn)（-2，1）處的切線方程；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，記g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的單調(diào)性，為使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個(gè)實(shí)根，從而可建立不等式，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=2（1+x）-$\frac{2}{1+x}$，
即有f（x）在點(diǎn)（-2，1）處的切線斜率為k=-2+2=0，
則f（x）在點(diǎn)（-2，1）處的切線方程為y=1；
（2）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，
記g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．
所以g′（x）=1-$\frac{2}{1+x}$=$\frac{x-1}{x+1}$．
由g′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
為使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，
只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個(gè)實(shí)根，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{g（1）＜0}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+1≥0}\\{1-a+1-2ln2＜0}\\{2-a+1-2ln3≥0}\end{array}\right.$，
解得2-2ln2＜a≤3-2ln3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)零點(diǎn)存在定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．