Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x²-ax+4（a＞0）；
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）當x∈[-3，3]時，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒小于1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，即有f（x）的極值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）=$\frac{2}{3}$x-a＜1在x∈[-3，3]時恒成立，運用參數(shù)分離和一次函數(shù)的單調(diào)性可得最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x²-ax+4的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{2}{3}$x-a，
當x＞$\frac{3}{2}$a時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當x＜$\frac{3}{2}$a時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{3}{2}$a，+∞），減區(qū)間為（-∞，$\frac{3}{2}$a），
f（x）有極小值，且為f（$\frac{3}{2}$a）=$\frac{16-3{a}^{2}}{4}$，無極大值；
（2）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x²-ax+4的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{2}{3}$x-a，
函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒小于1，
即為f′（x）=$\frac{2}{3}$x-a＜1在x∈[-3，3]時恒成立，
即有a＞$\frac{2}{3}$x-1恒成立，
由y=$\frac{2}{3}$x-1在[-3，3]上遞增，即有y的最大值為$\frac{2}{3}$×3-1=1，
則a＞1，
即實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，同時考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查運算能力，屬于中檔題．