Question

已知函數(shù)y=kx與y=x²+2（x≥0）的圖象相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l₁，l₂分別是y=x²+2（x≥0）的圖象在A，B兩點(diǎn)的切線，M，N分別是l₁，l₂與x軸的交點(diǎn)．
（I）求k的取值范圍；
（II）設(shè)t為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，寫出t以x₁為自變量的函數(shù)式，并求其定義域和值域；
（III）試比較|OM|與|ON|的大小，并說(shuō)明理由（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)直線與拋物線的右側(cè)相交列出關(guān)于k的不等式是解決本題的關(guān)鍵，即方程組有正根．通過(guò)解不等式確定出k的取值范圍；
（II）利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)和點(diǎn)斜式方程的知識(shí)寫出直線的方程是解決本小題的關(guān)鍵，令直線方程中的y=0，建立以x₁為自變量的函數(shù)t，進(jìn)而寫出該函數(shù)的定義域和值域；
（III）利用類比的思想在第（II）問(wèn)基礎(chǔ)上得出|OM|與|ON|的表達(dá)式，通過(guò)作差法進(jìn)行二者大小的比較，得出結(jié)論．

解答：解：（I）由方程

y=kx y=x2+2

消y得x²-kx+2=0．①
依題意，該方程有兩個(gè)正實(shí)根，
故

△=k2-8＞0 x1+x2=k＞0

解得k＞2

2

．
（II）由f′（x）=2x，求得切線l₁的方程為y=2x₁（x-x₁）+y₁，
由y₁=x₁²+2，并令y=0，得t=

x1

2

-

1

x1

，x₁，x₂是方程①的兩實(shí)根，
且x₁＜x₂，故x₁=

k- k2-8

2

=

4

k+ k2-8

，k＞2

2

，
x₁是關(guān)于k的減函數(shù)，所以x₁的取值范圍是(0，

2

)．
t是關(guān)于x₁的增函數(shù)，定義域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(0，

2

)，所以值域?yàn)椋?∞，0）．
（III）當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，由（II）可知|OM|=|t|=-

x1

2

+

1

x1

．
類似可得|ON|=

x2

2

-

1

x2

．|OM|-|ON|=-

x1+x2

2

+

x1+x2

x1x2

．
由①可知x₁x₂=2．
從而|OM|-|ON|=0．
當(dāng)x₂＜x₁時(shí)，有相同的結(jié)果|OM|-|ON|=0．
所以|OM|=|ON|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的相交問(wèn)題，考查曲線的切線求法，考查學(xué)生的函數(shù)思想、不等式思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，幾何問(wèn)題代數(shù)化的思想．比較法判斷大小問(wèn)題．