Question

20. 已知函數(shù)y=kx與y=x²+2（x≥0）的圖象相交于不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.l₁，l₂分別是y=x²+2（x≥0）的圖象在A，B兩點(diǎn)的切線(xiàn)，M，N分別是l₁，l₂與x軸的交點(diǎn).

（Ⅰ）求k的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)t為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，寫(xiě)出t以x₁為自變量的函數(shù)式，并求其定義域和值域；

（Ⅲ）試比較|OM|與|ON|的大小，并說(shuō)明理由（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）.

Answer 1

解：（Ⅰ）由方程消y得x²-kx+2=0，                 ①

依題意，該方程有兩個(gè)正實(shí)根，

故解得k＞2.

（Ⅱ）由f′（x）=2x，求得切線(xiàn)l₁的方程為y=2x₁（x-x₁）+y₁.

由y₁=+2，并令y=0，得t=.

x₁，x₂是方程①的兩實(shí)根，且x₁＜x₂，故x₁=，k＞2，

x₁是關(guān)于k的減函數(shù)，所以x₁的取值范圍是（0，）.

t是關(guān)于x₁的增函數(shù)，定義域?yàn)椋?，），所以值域?yàn)椋?∞，0）.

（Ⅲ）當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，由（Ⅱ）可知

| OM |=| t |= -，

類(lèi)似可得| ON |=，

| OM | - | ON |= -.

由①可知   x₁x₂=2，

從而| OM | - | ON |=0.

當(dāng)x₂＜x₁時(shí)，有相同的結(jié)果| OM | - | ON |=0.

所以| OM | = | ON |.