試題分析:(1)因為D點為直線與拋物線的交點A,B中點,所以求D點坐標就根據(jù)直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組,利用韋達定理求解,即由
,得
,
,點
.因為C點為切點,利用切線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組后的判別式為零進行求解,即由
,得
,得
.由于
、
的橫坐標相同,
垂直于
軸.(2)求三角形面積,必須觀察結(jié)構(gòu),合理選用底邊與高.本題將CD選為底,則
為高,利用(1)求出
,則
,(3)對題目“馬上”的理解,就是進行類比,直接寫出結(jié)論. 由(1)知
垂直于
軸,
,由(2)可得
、
的面積只與
有關,將
中的
換成
,可得
.而這一過程可無限類比下去,依次得到一列數(shù):
,
,這些數(shù)構(gòu)成一個公比為
無窮等比數(shù)列,其和可看成直線
與拋物線圍成的面積,即
試題解析:(1)由
,得
,
點
2分
設切線方程為
,由
,得
,
,切點的橫坐標為
,得
4分
由于
、
的橫坐標相同,
垂直于
軸. 6分
(2)
,
. 8分
. 11分
的面積與
、
無關,只與
有關. 12分
(本小題也可以求
,切點到直線
的距離
,相應給分)
(3)由(1)知
垂直于
軸,
,由(2)可得
、
的面積只與
有關,將
中的
換成
,可得
. 14分
記
,
,按上面構(gòu)造三角形的方法,無限的進行下去,可以將拋物線
與線段
所圍成的封閉圖形的面積,看成無窮多個三角形的面積的和,即數(shù)列
的無窮項和,此數(shù)列公比為
.