Question

已知m∈R，函數(shù)f（x）=

|2x+1|，x＜1 log2(x-1)，x＞1

，g（x）=x²-2x+2m-1，若y=f（g（x））-m有6個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于函數(shù)f（x）=

|2x+1|，x＜1 log2(x-1)，x＞1

，g（x）=x²-2x+2m-1．可得當(dāng)g（x）=（x-1）²+2m-2＜1，即（x-1）²＜3-2m時，y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|．當(dāng)g（x）=（x-1）²+2m-2＞1，即（x-1）²＞3-2m時，則y=f（g（x））=log2[(x-1)2+2m-3]．再對m分類討論，利用直線y=m與函數(shù)
y=f（g（x））圖象的交點必須是6個即可得出．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

|2x+1|，x＜1 log2(x-1)，x＞1

，g（x）=x²-2x+2m-1．
∴當(dāng)g（x）=（x-1）²+2m-2＜1，即（x-1）²＜3-2m時，
則y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|．
當(dāng)g（x）=（x-1）²+2m-2＞1，即（x-1）²＞3-2m時，則y=f（g（x））=log2[(x-1)2+2m-3]．
①當(dāng)m≥

3

2

時，y=m只與y=f（g（x））=log2[(x-1)2+2m-3]的圖象有兩個交點，不滿足題意，應(yīng)該舍去．
②當(dāng)m＜

3

2

時，y=m與y=f（g（x））=log2[(x-1)2+2m-3]的圖象有兩個交點，需要直線y=m與函數(shù)
y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|的圖象有四個交點時才滿足題意．
∴0＜m＜3-4m，又m＜

3

2

，解得0＜m＜

3

5

．
綜上可得：m的取值范圍是0＜m＜

3

5

．

點評：本題考查了分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、含絕對值函數(shù)的圖象、對數(shù)函數(shù)的圖象、函數(shù)圖象的交點的與函數(shù)零點的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．