Question

已知二次函數(shù)f（x）的最小值為-4且關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為{x|-1≤x≤3，x∈R}，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=

f(x)

x

-lnx的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的大小，方程，與函數(shù)的解析式的關(guān)系，求解系數(shù)．
（2）g′（x）=1+

3

x2

-

4

x

=

(x-1)(x-3)

x2

．根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可求解．

解答： 解：（1）f（x）是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f（x）的解集為
{x|-1≤x≤3，x∈R}，∴f（x）=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，且a＞0．
a＞0，f（x）=a[（x-1）²-4]≥-4且f（1）=-4a，∴f（x）_min=-4a=-4，a=-1，
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x²-2x-3
（2）g（x）=

x2-2x-3

x

-4lnx=x-

3

x

-4lnx-2，（x＞0），∴g′（x）=1+

3

x2

-

4

x

=

(x-1)(x-3)

x2

．
x，g′（x），g（x）的取值變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	單調(diào)增加	極大值	單調(diào)減少	極小值	單調(diào)增加

當(dāng)0＜x≤3時，g（x）≤g（1）=-4＜0；又g（e⁵）=e⁵-

3

e5

-20-2＞2⁵-1-22=9．
故函數(shù)g（x）只有1個零點，且零點x₀∈（3，e⁵）．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解，導(dǎo)數(shù)的運用，屬于綜合題，難度較大