Question

已知函數(shù)f（x）=2+

f′(0)

x+1

-2f（0）•x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式e^x+x²-ax＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）把函數(shù)f（x）=2+

f′(0)

x+1

-2f（0）•x求導，在導函數(shù)中取x=0得到關于f′（0）與f（0）的方程，在原函數(shù)解析式中取x=0得到另一方程，聯(lián)立求得f′（0）與f（0），則函數(shù)解析式可求；
（2）構造函數(shù)F（x）=e^x+x²-ax-f（x），求其導函數(shù)，二次求導后得導函數(shù)為增函數(shù)，然后分2-a≥0與2-a＜0分類分析，求得a的范圍后取并集得答案．

解答： 解：（1）∵f′(x)=-

f′(0)

(x+1)2

-2f(0)，
∴f′（0）=-f′（0）-2f（0），
∴f′（0）=-f（0），
又∵f（0）=2+f′（0），
∴f（0）=1，f′（0）=-1，
即f(x)=2-

1

x+1

-2x；             
（2）令F（x）=e^x+x²-ax-f（x）=ex+x2+(2-a)x+

1

x+1

-2，
∴F′(x)=ex+2x+2-a-

1

(x+1)2

，
∵F″(x)=ex+2+

2

(x+1)3

＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴F′（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴F′（x）＞F′（0）=2-a．
①當2-a≥0，即a≤2時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)′（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴F（x）＞F（0）=0，
∴e^x+x²-ax＞f（x）在（0，+∞）上恒成立；
②當2-a＜0，即a＞2時，
∵F′（x）在（0，+∞）上單調遞增，且F′（0）＜0，x→+∞時，F(xiàn)′（x₁）→+∞，
∴存在x₁∈（0，+∞），使得F′（x₁）=0．
∴當x∈（0，x₁）時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調遞減，F(xiàn)（x）＜F（0）=0不合題意．
∴實數(shù)a的取值范圍是a≤2．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及其常用方法，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了分離變量法求解恒成立問題，是壓軸題．