Question

（滿分12分）
已知函數(shù)f ( x )=x ²+ax+b
（1）若f (x)在[ 1，+∞)內(nèi)遞增，求實(shí)數(shù)a的范圍。
（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f (1+x)="f" (1－x) 成立，
①求實(shí)數(shù) a的值；
②證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).

Answer 1

① a＝－2②略

解：（1）a ≥－2
(2)由f(1+x)=f(1－x)得，
(1＋x)²＋a(1＋x)＋b＝(1－x)²＋a(1－x)＋b，即：(a＋2)x＝0，
由于對(duì)任意的x都成立，∴ a＝－2.
可知 f (x)=x ²－2x+b，下面證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).設(shè)，
則＝（）－（）
＝（）－2（）＝（）（－2）
∵，則＞0，且－2＞2－2＝0，
∴ ＞0，即，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).
法2：可用導(dǎo)數(shù)證明