Question

給出定義在(0，＋∞)上的三個(gè)函數(shù)：，，，已知在x＝1處取極值.
（Ⅰ）確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立；
（Ⅲ）把函數(shù)h(x)的圖象向上平移6個(gè)單位得到函數(shù)h₁(x)的圖象，試確定函數(shù)y＝g(x)－h₁(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

（1）h(x)在(1，+∞)上是增函數(shù)，在(0，1)上是減函數(shù).（2）見解析 （3）2

（Ⅰ）由題設(shè)，，則.                     
由已知，，即.                                      
于是，則.                                        
由，所以h(x)在(1，+∞)上是增函數(shù)，在(0，1)上是減函數(shù).
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，即.                           
欲證，只需證，即證.          
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間(1，e²)上為增函數(shù).                 
從而當(dāng)時(shí)，，即，故.        
（Ⅲ）由題設(shè)，.令，則
，即.                   
設(shè)，，則
，由，得x＞4.
所以在(4，＋∞)上是增函數(shù)，在(0，4)上是減函數(shù).                        
又在(0，)上是增函數(shù)，在(，＋∞)上是減函數(shù).
因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，，.
又，，，
，則函數(shù)與的大致圖象如下：                           
由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y＝g(x)－h₁(x)有2個(gè)零點(diǎn).