Question

3．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．首項a₁=α．公差d≠0，且a_n ≠0（n∈N₊），b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$．求數(shù)列{b_n}前n項和S_n．

Answer 1

分析 通過裂項可知b_n=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+2d}$），進而并項相加即得結論．

解答 解：依題意，a_n=a₁+（n-1）d=a+（n-1）d，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$
=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2d）}$
=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+2d}$），
∴S_n=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}+2d}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{2}+2d}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+2d}$）
=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}+2d}$+$\frac{1}{{a}_{1}+d}$-$\frac{1}{{a}_{1}+3d}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}+（n-1）d}$-$\frac{1}{{a}_{1}+（n+1）d}$）
=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{1}+d}$-$\frac{1}{{a}_{1}+nd}$-$\frac{1}{{a}_{1}+（n+1）d}$）
=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a+d}$-$\frac{1}{a+nd}$-$\frac{1}{a+（n+1）d}$）．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．