Question

求函數(shù)y=

x2-x+2

x+1

（x≠-1）的值域．

Answer 1

分析：注意到自變量x≠-1，所以將分式整理，得到y=(x+1)+

4

x+1

-3，接下來(lái)分x+1＞0與x+1＜0兩種情況，最后用基本不等式，可以求得原函數(shù)的值域．

解答：解：由已知：y=

x2-x+2

x+1

=

(x+1)2-3(x+1)+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

-3，
（i）當(dāng)x+1＞0即x＞-1時(shí)，y=(x+1)+

4

x+1

-3≥2

(x+1)• 4 x+1

-3=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=

4

x+1

即x=1y≥1
時(shí)，y_min=1，此時(shí)；
（ii）當(dāng)x+1＜0即x＜-1時(shí)，y=-[-(x+1)+

4

-(x+1)

]-3≤-2

-(x+1)• 4 -(x+1)

-3=-7，
當(dāng)且僅當(dāng)-(x+1)=

4

-(x+1)

即x=-3時(shí)，y_min=1，此時(shí)y≤-7；
綜上所述，所求函數(shù)的值域?yàn)閥∈（-∞，-7]∪[1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式函數(shù)的值域、基本不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．采用倒數(shù)的方法解題是解決本題的關(guān)鍵，解題的同時(shí)還要注意函數(shù)定義域問(wèn)題．