7.已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為$\frac{π}{3}$的兩個(gè)單位向量,$\overrightarrow{a}}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{{e}_{2}}$,求$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影.

分析 先根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3,根據(jù)向量的模的運(yùn)算求出|$\overrightarrow$|=2,再根據(jù)向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影為$|\overrightarrow{a}|$cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$,問(wèn)題得以解決.

解答 解:∵$\overrightarrow{a}}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為$\frac{π}{3}$的兩個(gè)單位向量,
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=($\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$)•2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2($\overrightarrow{{e}_{2}}$)2=2$|\overrightarrow{{e}_{1}}|$•$|\overrightarrow{{e}_{2}}|$cos$\frac{π}{3}$+2=1+2=3,|$\overrightarrow$|=2,
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$的夾角為θ,
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$,
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影為$|\overrightarrow{a}|$cosθ=$|\overrightarrow{a}|$•$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{3}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的夾角公式以及向量的投影,屬于中檔題.

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