Question

19．已知在數(shù)列{a_n}，{b_n}，a₁=0，b₁=1，a_n≥0，且當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列．求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 根據(jù)等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程，結(jié)合條件求出數(shù)列{a_n}、{b_n}前四項(xiàng)，找出規(guī)律歸納出a_n和b_n，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答 解：因?yàn)閍_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，
所以2b_n=a_n+a_n+1，${{a}_{n+1}}^{2}=_{n}_{n+1}$，
因?yàn)閍₁=0，b₁=1，a_n≥0，
所以依次求得：a₂=2、b₂=4，a₃=6、b₃=9，a₄=12、b₄=16，…，
可猜想：a_n=（n-1）n，$_{n}={n}^{2}$，
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=0，b₁=1，則n=1時(shí)成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，有a_k=（k-1）k，$_{k}={k}^{2}$，
那么n=k+1時(shí)，由2b_k=a_k+a_k+1得，
a_k+1=2b_k-a_k=2k²-（k-1）k=k²+k=k（k+1），
由${{a}_{k+1}}^{2}=_{k}_{k+1}$得，b_k+1=$\frac{{{a}_{k+1}}^{2}}{_{k}}$=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{{k}^{2}}$=（k+1）²，
故n=k+1時(shí)，也成立，
綜上可得，a_n=（n-1）n，$_{n}={n}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)，歸納推理，以及數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用，屬于中檔題．