Question

已知函數(shù)f（x）=

2

sin（x-

π

4

），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求函數(shù)F（x）=[f′（x）]²-f（x）f′（x）的最小值和相應(yīng)的x值．
（2）若f（x）=2f′（x），求

3-cos2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)，再化簡(jiǎn)F（x），繼而求出最值，
（2）由題意求出tanx=

1

3

，化簡(jiǎn)求值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2

sin（x-

π

4

）=sinx-cosx
∴f′（x）=cosx+sinx
∵F（x）=[f′（x）]²-f（x）f′（x），
∴F（x）=（cosx+sinx）²-（cosx+sinx）（sinx-cosx）=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
其最小值為1-

2

，此時(shí)x=kπ-

3π

8

，k∈Z，
（2）∵f（x）=2f′（x），
∴cosx+sinx=2（cosx-sinx），
∴tanx=

1

3

∴

3-cos2x

cos2x-sinxcosx

=

2(cos2x+2sin2x)

cos2x-sinxcosx

=

2(1+2tan2x)

1-tanx

=

11

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．