已知f(x)=x+asinx.
(Ⅰ)若f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時,求數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式上的最大值和最小值.

解:(Ⅰ)∵f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),
∴f'(x)=1+acosx≥0對x∈(-∞,+∞)恒成立.(2分)
令t=cosx,則1+at≥0對t∈[-1,1]恒成立,
,解得-1≤a≤1,
∴實數(shù)a的取值范圍是[-1,1].(6分)
(Ⅱ)當(dāng)a>0時,,∴,(8分)
記h(x)=xcosx-sinx,x∈(0,π),則h'(x)=-xsinx<0對x∈(0,π)恒成立,
∴h(x)在x∈(0,π)上是減函數(shù),∴h(x)<h(0)=0,即g'(x)<0,
∴當(dāng)a>0時,在(0,π)上是減函數(shù),得g(x)在上為減函數(shù).(11分)
∴當(dāng)時,g(x)取得最大值;當(dāng)時,g(x)取得最小值.(13分)
分析:(Ⅰ)由于f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),從而得到f'(x)≥0對x∈(-∞,+∞)恒成立,令t=cosx,將此恒成立問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題,利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組即可求得實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時,,∴,記h(x)=xcosx-sinx,x∈(0,π),先研究h(x)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求解f(x)在R上的最值問題即可,故只要先求出函數(shù)的極值,比較極值和端點處的函數(shù)值的大小,最后確定出最值即得.
點評:考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的能力,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力.
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已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若k=
1
3
,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間[
1
2
,a]
上的值域為[
1
a
,1]
,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若數(shù)學(xué)公式,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間數(shù)學(xué)公式上的值域為數(shù)學(xué)公式,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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