Question

9．已知雙曲線經過點M（$\sqrt{6}，\sqrt{6}$）．
（1）如果此雙曲線的漸近線為$y=±\sqrt{2}x$，求雙曲線的標準方程；
（2）如果此雙曲線的離心率e=2，求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線的漸近線方程設出雙曲線的方程是，把已知點代入雙曲線的方程可得k值，則雙曲線的標準方程可求；
（2）由雙曲線的離心率e=2，得到a與b的關系，分類設出雙曲線方程，代入點的坐標求解．

解答 解：（1）∵雙曲線的近線為y=$\sqrt{2}$x，
∴設雙曲線方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=k$，
∵點M（$\sqrt{6}，\sqrt{6}$）在雙曲線上，
∴$6-\frac{6}{2}=k$，得k=3．
∴雙曲線的標準方程為$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$；
（2）∵$e=\frac{c}{a}=2⇒c=2a$，又∵c²=a²+b²，∴$b=\sqrt{3}a$．
①當雙曲線的焦點在x軸上時，設雙曲線標準方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{3{a^2}}}=1$，
∵點M（$\sqrt{6}，\sqrt{6}$）在雙曲線上，∴$\frac{6}{a^2}-\frac{6}{{3{a^2}}}=1$，
解得a²=4，b²=12，
則所求雙曲線標準方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$．
②當雙曲線的焦點在y軸上時，設雙曲線標準方程為$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{{3{a^2}}}=1$，
∵點M（$\sqrt{6}，\sqrt{6}$）在雙曲線上，∴$\frac{6}{a^2}-\frac{6}{{3{a^2}}}=1$，
解得a²=4，b²=12，
則所求雙曲線標準方程為 $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{12}=1$．
故所求雙曲線方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$或 $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{12}=1$．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程，注意給出漸近線方程的雙曲線方程的設法，考查分類討論的數學思想方法，是中檔題．