Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=2+t，S₅-S₂=24+3t（t＞0）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=aqⁿ+n，若b₁=a₁，b₅=a₅，試比較a₃與b₃的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）利用a₁=2+t，S₅-S₂=24+3t，確定數(shù)列的公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用b_n=aqⁿ+n，b₁=a₁，b₅=a₅，確定q²＞1，再作差比較a₃與b₃的大小．
解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則S₅-S₂=3a₁+9d=24+3t．…（2分）
又a₁=2+t，則d=2，…（4分）
故a_n=2n+t．…（6分）
（II）由已知可得aq=1+t＞0，aq⁵=5+t，…（8分）
相加得3+t=（aq+aq⁵），…（10分）
又aq⁵-aq=aq（q⁴-1）=4，則q⁴＞1，得q²＞1   …（13分）
則a₃-b₃=3+t-aq³=，故a₃＞b₃．  …（14分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查大小比較，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．