Question

已知橢圓：的離心率等于，點(diǎn)在橢圓上.
(I)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于,兩點(diǎn)，是否存在定直線：，使得與的交點(diǎn)總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

(I)   
(Ⅱ) 存在定直線:,使得與的交點(diǎn)總在直線上,的值是.

試題分析：（1）由，
又點(diǎn)在橢圓上，，所以橢圓方程：；    
（2）當(dāng)垂直軸時，，則的方程是：，
的方程是：，交點(diǎn)的坐標(biāo)是：，猜測:存在常數(shù),
即直線的方程是:使得與的交點(diǎn)總在直線上,
證明：設(shè)的方程是，點(diǎn)，
將的方程代入橢圓的方程得到：，
即：，
從而：，      
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012713617316.png" style="vertical-align:middle;" />，共線，所以：，，
又，要證明共線，即要證明，    
即證明：，即：，
即：因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240127138821080.png" style="vertical-align:middle;" />成立，
所以點(diǎn)在直線上.綜上:存在定直線:,使得與的交點(diǎn)總在直線上,的值是.
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的方程是否存在，綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用